Wat is de snelste weg naar hetzelfde punt: een korte, rechte baan of een lange met veel ups en downs? U voelt het aankomen, maar voor de goede orde nog even een waarschuwing: dit verhaal begint bij een gek internetfilmpje en eindigt met hardcore wiskunde. Want, zoals menig wiskundeleraar aan zijn kersverse eerstejaars voorhoudt: àlles is wiskunde. Het hele universum.
Op het filmpje is te zien dat, geheel contra-intuïtief, de knikker die een langere baan met veel ups en downs moet afleggen sneller aan het einde van de baan is dan de knikker die gewoon de kortste weg rechtuit rolt. En ja, de eindpunten zijn even hoog. Dus hoe kan dat?
Het antwoord is dat de knikker die diepe dalen kent op zijn weg naar beneden ook de kans heeft veel snelheid op te bouwen. Daardoor legt hij grote delen van de afstand sneller af. Zo eenvoudig is het.
Curves
Is daarmee de kous af? Nou, niet als u een beetje competitief bent ingesteld. De vraag die dan namelijk welke vorm knikkerbaan het snelste is? In ieder geval stelde de geniale en zeer competatief ingestelde zeventiende eeuwse wiskundige Johan Brenouilli zich die vraag. Hij was de eerste die het probleem van de brachistochrone kromme (Grieks: βραχιστος, brachistos, kortste en χρονος, chronos, tijd) oploste (in het Nederlands heet dit gewoon de curve van snelste daling). We kijken straks hoe hij dat deed, maar nu eerst de oplossing die hij ontdekte, en dat is de isochrone curve.
In onderstaand jaren zeventig-tachtig filmpje, dat een eigenaardige combo is tussen een wetenschap- en knutselprogramma, zie je dat een isochrone curve wordt afgelegd door een enkel punt op een wiel dat zich al ronddraaiend verplaatst. En wat blijkt? Als je die curve verwerkt tot knikkerbaan, dan krijg je iets geks. Het maakt namelijk niet uit op welk punt je een knikker loslaat; hij komt altijd op hetzelfde moment beneden:
Wiskundefanaten
Dan nu de uitleg en de geschiedenis van hoe dit alles tot stand is gekomen. Onderstaand filmpje vertelt daarover. Dat gebeurt leuk en fascinerend, maar is ook gemaakt voor en door wiskundefanaten. Schaamt u zich dus niet als u op enig moment de weg kwijt raakt, want dat overkwam uw beeldbuisredacteur ook. Het filmpje is vooral voor degenen die zich er echt in willen verdiepen. Tegelijk bevat het ook veel historie, onder andere over de onaangename rivaliteit tussen de Bernoulli-broers en Newton. Ook in de wereld van wiskunde spelen rancune en wedijver.
Nieuwsbrief
Vond je dit een interessant artikel, abonneer je dan gratis op onze wekelijkse nieuwsbrief.